Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，D為BC的中點，連接AD，E為AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．

（1）求證：四邊形ADCF為平行四邊形．

（2）當四邊形ADCF為矩形時，AB與AC應滿足怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形ADCF為矩形時AB＝AC，理由詳見解析.

【解析】

（1）利用△AEF≌△DEB得到AF＝DB，所以AF＝DC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形；

（2）利用等腰三角形的性質以及矩形的性質得出即可．

（1）∵AF∥BC，

∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．

又∵AE=ED，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

又∵BD＝DC，

∴AF＝DC，

∴四邊形ADCF為平行四邊形；

（2）四邊形ADCF為矩形時AB＝AC；

理由：∵四邊形ADCF為矩形，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵D為BC的中點，

∴AB＝AC，

∴四邊形ADCF為矩形時AB＝AC．