Question

紅星食品廠獨家生產具有地方特色的某種食品，產量y₁（萬千克）與銷售價格x（元/千克）（2≤x≤10）滿足函數關系式y₁=0.5x+11、經市場調查發現：該食品市場需求量y₂（萬千克）與銷售價格x（元/千克）（2≤x≤10）的關系如圖所示．當產量小于或等于市場需求量時，食品將被全部售出；當產量大于市場需求量時，只能售出符合市場需求量的食品，剩余食品由于保質期短將被無條件銷毀．
（1）求y₂與x的函數關系式；
（2）當銷售價格為多少時，產量等于市場需求量？
（3）若該食品每千克的生產成本是2元，試求廠家所得利潤W（萬元）與銷售價格x（元/千克）（2≤x≤10）之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象得到直線上的兩個點（10，4），（2，12）代入函數關系式，利用待定系數法求解即可；
（2）令y₁=y₂，解方程即可求解；
（3）要考慮到“當產量大于市場需求量時，只能售出符合市場需求量的食品，剩余食品由于保質期短將被無條件銷毀”那么所得利潤=需求量×每千克的利潤-剩余量×成本，把相關數值代入即可求解．

解答：解：（1）設y₂=kx+b，把點（10，4），（2，12）代入函數關系式得

10k+b=4 2k+b=12

解得

k=-1 b=14

所以y₂=-x+14；

（2）當y₁=y₂時
0.5x+11=-x+14
解得x=2
即當銷售價格為2元時，產量等于市場需求量；

（3）由（2）可知2＜x≤10時，產品的產量大于市場需求量，則
w=y₂（x-2）-2（y₁-y₂）
=（-x+14）（x-2）-2（0.5x+11+x-14）
=-x²+13x-22．（2≤x≤10）．

點評：主要考查了一次函數的實際運用和讀圖能力．從圖象中獲得所需的信息是需要掌握的基本能力，還要會熟練地運用待定系數法求函數解析式．注意第（3）問中要考慮到“當產量大于市場需求量時，只能售出符合市場需求量的食品，剩余食品由于保質期短將被無條件銷毀”．