Question

已知⊙O的半徑為r，AB、CD為⊙O的兩條直徑，且弧AC=60°，P為弧BC上的任意一點，PA、PD分別交CD、AB于E、F，則AE•AP+DF•DP等于（　　）

• A、3r²
• B、2

  3

  r2
• C、4r²
• D、3

  2

  r2

Answer 1

分析：由AB，CD是直徑，弧AC為60°，可以證明△ACE和△DOF全等，得到對應邊相等．由兩組三角形相似，對應線段成比例，得到線段乘積的形式，然后結合圖形進行計算．

解答：解：如圖：
∵

AC

=60°，CD為直徑，
∴

AD

=120°，∴∠C=60°=∠P．
在△ACE和△D0F中，
AC=OC=DO
∠C=∠DOF=60°
∠CAE=∠ODF
∴△ACE≌△DOF
∴CE=OF．
又∵△AOE∽△APF，△DOF∽△DPE
∴AE•AP=AO•AF，DF•DP=DO•DE．
∴AE•AP+DF•DP
=AO•AF+DO•DE
=r（r+OF）+r（r+OE）
=r（2r+OE+OF）
=r（2r+OE+CE）
=r（2r+r）
=3r²．
故選A．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據直徑和弧的度數，得到兩三角形全等，對應邊相等．由三角形相似，對應線段成比例，得到線段乘積的形式，結合圖形計算求值．