Question

如圖，⊙O中兩條不平行弦AB和CD的中點M，N．且AB=CD，求證：∠AMN=∠CNM．

Answer 1

證明：連OM，ON，如圖，
∵M，N分別為AB，CD的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO=∠CNO=90°，
∵AB=CD，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM．
分析：連OM，ON，由M，N分別為AB，CD的中點，根據垂徑定理的推論得到OM⊥AB，ON⊥CD，即∠AMO=∠CNO=90°，又AB=CD，根據在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等得到OM=ON，所以∠OMN=∠ONM，于是∠AMN=∠CNM．
點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了垂徑定理的推論和等腰三角形的性質．