Question

（2005•東城區一模）已知關于x的一元二次方程（m+1）x²-2（m+1）x+m-1=0．
（1）當m取何值時，方程有兩個實數根？
（2）設x₁、x₂是方程的兩個實數根，且滿足

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=1-m，求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程有兩個實數根，必須滿足△=b²-4ac≥0，且m+1≠0，從而建立關于m的不等式，求出實數m的取值范圍；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系：兩根之和=-

b

a

，兩根之積=

c

a

，首先寫出兩根之和，再寫出兩根之積，然后把x₁²x₂+x₁x₂²分解因式，代入x₁x₂與x₁+x₂的值，可以得到關于m的方程，再解方程，求出符合題意的解即可．

解答：解：（1）依題意得：

m+1≠0 △=[2(m+1)]2-4(m+1)(m-1)≥0

，
解得：m＞-1；
（2）由根與系數的關系，得

x1+x2=2 x1•x2= m-1 m+1

，
∴

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=1-m，
=x₁x₂（x₁+x₂），
=2×

m-1

m+1

，
=1-m，
整理，得m²+2m-3=0，
解得m₁=1，m₂=-3，
∵m＞-1，
∴m=-3不合題意，舍去，
∴m=1．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，以及根的判別式與方程解的個數的關系，關鍵是熟練掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根與系數的關系：兩根之和=-

b

a

，兩根之積=

c

a

，及一元二次方程的根與△=b²-4ac的關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．