Question

（2003•上海）如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點．
（1）當∠DEF=45°時，求證：點G為線段EF的中點；
（2）設AE=x，FC=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）圖2所示，將△DEF沿直線EF翻折后得△D₁EF，當EF=時，討論△AD₁D與△ED₁F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的三線合一進行證明，能夠熟練運用等腰直角三角形的性質和切線長定理發現G為線段EF的中點；
（2）根據切線長定理、正方形的性質得到有關的線段用x，y表示，再根據勾股定理建立函數關系式．
（3）結合（2）中的函數關系式，求得x的值．分兩種情況分別分析，根據切線長定理找到角之間的關系，從而發現正方形，根據正方形的性質得到兩個角對應相等，從而證明三角形相似．
解答：（1）證明：∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圓B的半徑，AD⊥AB，
∴AD切圓B于點A．
同理：CD切圓B于點C．
又∵EF切圓B于點G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G為線段EF的中點．

（2）解：根據（1）中的線段之間的關系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根據勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y=（0＜x＜1）．

（3）解：當EF=時，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+=，
解得x₁=，x₂=．
經檢驗x₁=，x₂=是原方程的解．
①當AE=時，△AD₁D∽△ED₁F，
證明：設直線EF交線段DD₁于點H，由題意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE=，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠ED₁F=∠AD₁D．
∴D₁F∥AD，
∴∠ADD₁=∠DD₁F=∠EFD=45°，
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②當AE=時，△ED₁F與△AD₁D不相似．
點評：此題綜合運用了切線長定理、相似三角形的判定和性質；能夠發現正方形，根據正方形的性質進行分析證明．