Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點，AC分別交BE，DF于點M，N．給出下列結論：
①△ABM≌△CDN；②AM=

1

3

AC；③DN=2NF；④S_{四邊形BFNM}=

1

4

S_{平行四邊形ABCD}．
其中正確的結論有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：先結合平行四邊形性質，根據ASA得出△ABM≌△CDN，從而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位線定理、相似三角形的對應邊成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由
S_?BFDE=

1

2

S_?ABCD，S_{四邊形BFNM}=

1

2

S_?BFDE，易證得S_{四邊形BFNM}=

1

4

S_{平行四邊形ABCD}．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∠BAE=∠DCF，
∵E、F分別是邊AD、BC的中點，
∴AE=DE=BF=CF，
在△ABE和△CDF中，

AE=CF ∠BAE=∠DCF AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故①正確；

∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，
∴NF∥BM，
∵F為BC的中點，
∴NF為三角形BCM的中位線，
∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，
∴AM=

1

3

AC，DN=2NF，
故②③正確；

∵S_?BFDE=

1

2

S_?ABCD，S_{四邊形BFNM}=

1

2

S_?BFDE，
∴S_{四邊形BFNM}=

1

4

S_{平行四邊形ABCD}．
故④正確；
綜上所述，正確的結論是：①②③④，共有4個．
故選D．

點評：本題考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質．注意，三角形中位線定理的應用．