Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點，且AD∥CO．
（1）求證：△ABD≌△OBC；
（2）若AB=2，BC=$\sqrt{2}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據AB為圓O的直徑，根據圓周角定理得到∠D為90°，又BC為圓O的切線，根據切線性質得到∠CBO=90°，進而得到這兩個角相等，又AD∥CO，根據兩直線平行，得到一對同位角相等，從而利用兩角對應相等的兩三角形相似即可得證；
（2）根據勾股定理求得OC=$\sqrt{3}$，由（1）得到的相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OB}{OC}$，即AD=$\frac{AB•OB}{OC}$，求出AD的長．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠90°，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=∠90°，
∵AD∥CO，
∴∠A=∠COB，
在△ABD和△OBC中
∵∠ADB=∠OBC，∠A=∠COB，
∴△ABD∽△OCB；
（2）由（1）知，△ABD∽△OCB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OB}{OC}$，即AD=$\frac{AB•OB}{OC}$，
∵AB=2，BC=$\sqrt{2}$，
∴OB=1，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{2×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質，平行線的性質，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質．對于第一問這樣的幾何證明題，要求學生多觀察，多分析，根據題意選擇合適的判定方法；第二問的突破點在于利用勾股定理表示出OC，借助第一問的相似得比例．