Question

如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉至△OA′B′，C點的坐標為（0，4）．
（1）求A′點的坐標；
（2）求過C，A′，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使以O，A，P為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，∠A′OA的度數和旋轉角的度數相同，可過A′作x軸的垂線，在構建的直角三角形中可根據OA′的長和∠A′OA的度數求出A′的坐標；
（2）已知了C，A′，A三點的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）本題要分三種情況進行討論：
①以O為直角頂點，OA=OP=4，而OC=4，那么此時C點和P點重合，因此P點的坐標即為C點的坐標．
②以A為直角頂點，那么P點的坐標必為（4，4）或（4，-4）．可將這兩個坐標代入拋物線的解析式中判定其是否在拋物線上即可．
③以P為直角頂點，那么P點在OA的垂直平分線上，且P點的坐標為（2，2）或（2，-2）然后按②的方法進行求解即可．
解答：解：（1）過點A′作A′D垂直于x軸，垂足為D，則四邊形OB′A′D為矩形．
在△A′DO中，A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2，
OD=A′B′=AB=2，
∴點A′的坐標為（2，2）；

（2）∵C（0，4）在拋物線上，
∴c=4，
∴y=ax²+bx+4，
∵A（4，0），A′（2，2），在拋物線y=ax²+bx+4上，
∴，
解之得，
∴所求解析式為y=+（2-3）x+4；

（3）①若以點O為直角頂點，由于OC=OA=4，點C在拋物線上，則點P（0，4）為滿足條件的點．
②若以點A為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（4，4）或（4，-4），代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上．
③若以點P為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（2，2）或（2，-2），代入拋物線解析式中 知此兩點不在拋物線上．
綜上述在拋物線上只有一點P（0，4）使△OAP為等腰直角三角形．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、等腰直角三角形的構成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．