Question

（2007•嘉興）如圖，已知A（8，0），B（0，6），兩個動點P、Q同時在△OAB的邊上按逆時針方向（→O→A→B→O→）運動，開始時點P在點B位置，點Q在點O位置，點P的運動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒1個單位．
（1）在前3秒內，求△OPQ的最大面積；
（2）在前10秒內，求P、Q兩點之間的最小距離，并求此時點P、Q的坐標；
（3）在前15秒內，探究PQ平行于△OAB一邊的情況，并求平行時點P、Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．在前3秒內，點P在OB上，點Q在OA上，設經過t秒，點P，Q位置如圖．則OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面積A=OP•OQ=t（3-t），當t=時，S_max=．
（2）在前10秒內，點P從B開始，經過點O，點A，最后到達AB上，經過的總路程為20；點Q從O開始，經過點A，最后也到達AB上，經過的總路程為10．其中P，Q兩點在某一位置重合，最小距離為0．設在某一位置重合，最小距離為0．
設經過t秒，點Q被點P“追及”（兩點重合），則2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒內，P，Q兩點的最小距離為0，點P，Q的相應坐標為（6，0）．
（3）①設0≤t＜3，則點P在OB上，點Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．若PQ∥AB，則=，
∴=，
解得t=．
此時，P（0，），Q（，0）．（2分）
②設3≤t≤7，則點P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
③設7＜t＜8，則點P在AB上，點Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．若PQ∥OB，
則=，∴=，
解得t=．
此時，P（，），Q（，）．（2分）
④設8≤t≤12，則兩點P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
⑤設12＜t＜15，則點P在OB上、點Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，則=，∴=，
解得t=．
此時，P（0，），Q（，）．（2分）
解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．
在前3秒內，點P在OB上，點Q在OA上，設經過t秒，點P，Q位置如圖．
則OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面積A=OP•OQ=t（3-t），（2分）
當t=時，S_max=．（2分）

（2）在前10秒內，點P從B開始，經過點O，點A，最后到達AB上，經過的總路程為20；點Q從O開始，經過點A，最后也到達AB上，經過的總路程為10．其中P，Q兩點在某一位置重合，最小距離為0．
設在某一位置重合，最小距離為0．
設經過t秒，點Q被點P“追及”（兩點重合），則2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒內，P，Q兩點的最小距離為0，點P，Q的相應坐標為（6，0）．（4分）

（3）①設0≤t＜3，則點P在OB上，點Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．
若PQ∥AB，則=，∴=，解得t=．
此時，P（0，），Q（，0）．（2分）
②設3≤t≤7，則點P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
③設7＜t＜8，則點P在AB上，點Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．
若PQ∥OB，則=，∴=，解得t=．
此時，P（，），Q（，0）．（2分）
④設8≤t≤12，則兩點P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
⑤設12＜t＜15，則點P在OB上、點Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，則=，∴=，
解得t=．
此時，P（0，），Q（，）．（2分）


點評：此題很復雜，把動點問題與實際相結合，有一定的難度，解答此題的關鍵是分別畫出t在不同階段Q的位置圖，結合相應的圖形解答．