Question

已知，如圖，拋物線=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A，B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點M的坐標；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ，當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A，C兩點坐標，利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）根據△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標為：±4，再把y=4和y=-4時分別代入求出對應的x的值，進而得出點M的坐標；
（3）設BQ=x，因為EQ∥AC，所以△BEQ∽△BCA，再利用相似三角形的性質得出S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，再利用二次函數的性質進而點Q的坐標．
解答：解：（1）∵點C（0，4），
∴c=4，
∵點A的坐標為（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-，
∴y=-x²+x+4；

（2）∵△ABC與△ABM的面積相等，
C點坐標為：（0，4），
∴M的縱坐標為：±4，
∴4=-x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M點的坐標為：（2，4），
當-4=-x²+x+4；
解得：x ₁=1+，x ₂=1-，
∴M點的坐標為：（1+，-4），或（1-，-4），
∴綜上所述：M點的坐標為：（2，4）、（1+，-4）或（1-，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
∴S_△ABC=×6×4=12，
設BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（）²==（）²，
∴S_△BEQ×12=x²，
∴S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，
當x=-=3時，S_△CQE面積最大，
∴Q點坐標為（1，0）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用和相似三角形的性質和等腰三角形的性質等知識，根據已知得出（）²==（）²，以及分類討論得出M點的坐標是解題關鍵．