Question

如圖，在△CAB和△EAD中，∠CAE=∠BAD，BC=DE．
（1）請你選擇以下條件：①AB=AD；②∠C=∠E；③∠B=∠D；④∠CAB=∠EAD中的一個條件，使得△CAB≌△EAD，并說明理由．（只要選一種即可）
（2）在（1）的前提下，若AB=

12

x-2

，BC=2x-y+7，AC=（y-6）²，AD=

72

x2-4

，DE=

7

2

x-y+1，AE=4，請解決以下問題：
①分別求出x，y的值；
②化簡：

1

xy

+

1

(x+4)(y+4)

+

1

(x+8)(y+8)

+

1

(x+12)(y+12)

+…+

1

(x+4n)(y+4n)

．
（n為正整數）

Answer 1

分析：（1）可以選擇②，然后根據已知條件求出∠CAB=∠EAD，再利用AAS定理從而證得△CAB≌△EAD；
（2）根據①可得AB=AD，即

12

x-2

=

72

x2-4

，然后解出x的值，利用此方法依次求出BC=DE或AC=AE，從而解出x的值，再由三角形三邊關系判斷是否合題意，最后得出正確答案，x=4，y=8．②把x、y的值代入方程，然后展開化簡即可．

解答：解：（1）可以選擇②∠C=∠E或③∠B=∠D，中的一種．
∵在△CAB和△EAD中，∠CAE=∠BAD，BC=DE，
∴∠CAB=∠EAD，
又∵∠C=∠E，
∴△CAB≌△EAD（利用“AAS”）

（2）①由（1）得AB=AD，

12

x-2

=

72

x2-4

，
解得x=4，
經檢驗x=4是原方程的根，所以x=4；
或（BC=DE）2x-y+7=

7

2

x-y+1解得x=4；
或（AC=AE）由（y-6）²=4，解得y=8或4；
當x=4，y=8時，AB=AD=6，BC=DE=7，AC=AE=4；
當x=4，y=4時，AB=AD=6，BC=DE=11，AC=AE=4，此時三角形不能構成，因此不合題意．
所以x=4，y=8．
②當x=4，y=8時，原式=

1

4×8

+

1

8×12

+

1

12×16

+

1

16×20

+…+

1

(4n+4)(4n+8)

，
=

1

16

[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

16

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

16

（1-

1

n+2

）=

n+1

16n+32

．

點評：本題考查三角形全等的判定方法、有理數的混合運算、解分式方程以及三角形三邊關系；在判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．