Question

已知如圖①，∠MON=90°，點A是射線ON上的一個定點，OA=4，點B是射線OM上的一個動點，分別以OA、AB為邊在∠MON的內部作等邊三角形AOP和ABQ，連接PQ
（1）求∠APQ的度數．
（2）當點B在射線OM上移動時，四邊形AOPQ的形狀也隨之發生變化．它能變化成一個平行四邊形嗎？若能，確定點B的位置；若不能，說明理由．
（3）若直線AP與BQ相交于點C，設△ABQ的面積為S₁，四邊形AOBP面積為S₂，當S₁=2S₂時，判定BQ與OB的位置關系．（可利用備用圖）

Answer 1

分析：（1）關鍵等邊三角形性質求出OA=AP，AB=AQ，∠OAP=∠BAQ=60°，推出∠OAB=∠QAC，證△APQ≌△AOB即可；
（2）根據OAP=60°∠APQ=90°，推出AO和PQ不平行即可判斷答案；
（3）設OB=X，作PH⊥OM于H，根據面積公式求出S₁ S₂，即可求出答案．

解答：解：（1）∵等邊△ABQ，△AOP，
∴OA=AP，AB=AQ，∠OAP=∠BAQ=60°，
∴∠OAB=∠QAC，
∴△APQ≌△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°．

（2）不能是平行四邊形，理由是：
∵∠OAP=60°∠APQ=90°，
∴∠OAP≠∠APQ，
∴AO與PQ不平行，
∴四邊形AOPQ不可能成為平行四邊形．

（3）設OB=X，作PH⊥OM于H，
∵AO=OP=AP=4，
∴∠POM=30°，PH=2；
S₂=S_△AOP+S_△OPB  

= 1 2 ×4×2 3 + 1 2 x×2=4 3 +x

AB2=16+x2，AB= 16+x2 ，AC= 3 2 16+x2

，
∴S1=

1

2

16+x2

•

3

2

16+x2

=

3

4

(16+x2)，
∴

3

4

(16+x2)=2(x+4

3)

，x=

8±16

2 3

=4

3

(∵x＞0)，
∴tan∠BAO=

3

，
∴∠BAO=60°，
∴AP與AB重合，BQ⊥OB．

點評：本題主要考查對等邊三角形的性質，全等三角形的性質，平行四邊形的性質，解直角三角形等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．