Question

如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)結(jié)BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）求證：AP+HC=PH；
（3）當AP=1時，求PH的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH；
（3）設QH=HC=x，則DH=4-x．在Rt△PDH中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求解即可．

解答：（1）證明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四邊形ABCD為正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP與△QBP中，

∠A=∠BQP=90° ∠APB=∠BPH BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH與Rt△BQH中，

BC=BQ BH=BH

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，
∴PD=3．
設QH=HC=x，則DH=4-x．
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，
即3²+（4-x）²=（x+1）²，
解得x=2.4，
∴PH=3.4．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．