Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過B作BE⊥CD，垂足為點E，連接AE，F為AE上一點，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；
（3）在（1）（2）的條件下，若AD=3，求BF的長．（計算結果可含根號）

Answer 1

分析：（1）根據題意可求得：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似，可證得△ABF∽△EAD；
（2）由直角三角形的性質，即可求得；
（3）根據相似三角形的對應邊成比例，求得．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE=180°．
∵∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED．
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴AE=

AB

cos∠BAE

=

4

3 2

=

8 3

3

．

（3）解：∵△ABF∽△EAD，
∴

AB

AE

=

BF

AD

，

4

8 3  3

=

BF

3

．
∴BF=

3

2

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．