Question

如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm∕秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm∕秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻t，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：存在t=3秒或4.8秒，使以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似（無(wú)此過(guò)程不扣分）
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△AMN與△ABC相似，
此時(shí)，AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），
（1）當(dāng)MN∥BC時(shí)，△AMN∽△ABC，（1分）
則，即，（3分）
解得t=3；（5分）

（2）當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，△ANM∽△ABC，（6分）
則，即，（8分）
解得t=4.8；（10分）
故所求t的值為3秒或4.8秒．（11分）
分析：首先設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△AMN與△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后分別從當(dāng)MN∥BC時(shí)，△AMN∽△ABC與當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，△ANM∽△ABC去分析，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)與判定．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．