Question

（2013•常州模擬）如圖，E是正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC延長線上的一點(diǎn)，且BF=EF，AB=12，設(shè)AE=x，BF=y．
（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，求BF的長；
（2）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）把△ABE沿著直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，試探索：△A′BF能否為等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出AE的長；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，則可解Rt△ABE，求得BF即BE的長．
（2）作EG⊥BF，垂足為點(diǎn)G，則四邊形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF²=（BF-BG）²+EG²．即y²=（y-x）²+12²．故可求得y與x的關(guān)系．
（3）當(dāng)把△ABE沿著直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，應(yīng)有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，故可由（1）得到的y與x的關(guān)系式建立方程組求得AE的值．
解答：解：（1）當(dāng)△BEF是等邊三角形時(shí)，∠ABE=30°．
∵AB=12，
∴AE=，
∴BF=BE=．

（2）作EG⊥BF，垂足為點(diǎn)G，

根據(jù)題意，得EG=AB=12，F(xiàn)G=y-x，EF=y，
∴y²=（y-x）²+12²，
∴所求的函數(shù)解析式為（0＜x＜12）．


（3）∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴點(diǎn)A'落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴-x=12．
整理得x²+24x-144=0，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)：都原方程的根，
但不符合題意，舍去，
當(dāng)AE=時(shí)，△A'BF為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等邊三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．