Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以EF為直徑的半圓M如圖所示位置擺放，點E與點A重合，點F與點B重合，點F從點B出發，沿射線BC以每秒1個單位長度的速度運動，點E隨之沿AB下滑，并帶動半圓M在平面滑動，設運動時間t（t≥0），當E運動到B點時停止運動．

發現：M到AD的最小距離為　 　，M到AD的最大距離為　 　．

思考：①在運動過程中，當半圓M與矩形ABCD的邊相切時，求t的值；

②求從t=0到t=4這一時間段M運動路線長；

探究：當M落在矩形ABCD的對角線BD上時，求S△EBF．

Answer 1

【答案】4、8；①當t=0或t=4或t=8時，半圓M與矩形ABCD的邊相切；②π；

【解析】

發現：當點A與點E重合時，點M與AD的距離最小，當點E與點B重合時，點M到AD的距離最大，據此可得；
思考：①根據題意知t=0時半圓M與AD、BC相切，當t=8時半圓M與AB相切，當半圓M與CD相切時，設切點為N，延長NM交AB于點Q，由M是EF的中點且QM∥BF知，據此可得t=BF=2QM=4；
②t=0到t=4這一段時間點M運動的路線長為，由Rt△EBF中BM=MF=BF=4知△BMF是等邊三角形，據此可得∠MBF=60°、∠MBM′=30°，利用弧長公式計算可得；
探究：當點M落在BD上時，由四邊形BCDA是矩形知∠OAB=∠OBA，由BM是Rt△EBF斜邊EF的中線知BM=EM、∠MBE=∠BEM，得出∠OAB=∠BEM及EF∥AC，從而知，據此解答可得．

解：發現：當點A與點E、點B與點F重合時，點M與AD的距離最小，最小距離為4；

當點E與點B重合時，點M到AD的距離最大，最大距離為8；

故答案為：4、8；

思考：①由于四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∴當t=0時，半圓M既與AD相切、又與BC相切；

如圖1，當半圓M與CD相切時，設切點為N，

∴∠MNC=90°，

延長NM交AB于點Q，

∵∠B=∠C=90°，

∴四邊形BCNQ是矩形，

∴QN=BC=6，QM=QN﹣MN=2，

∵M是EF的中點，且QM∥BF，

∴ ，

∴t=BF=2QM=4；

當t=8時，∵∠ABM=90°，

∴半圓M與AB相切；

綜上，當t=0或t=4或t=8時，半圓M與矩形ABCD的邊相切；

②如圖2，t=0到t=4這一段時間點M運動的路線長為 ，

t=4時，BF=4，

由于在Rt△EBF中，EM=MF=4，

∴BM=MF=4，

∴BM=MF=BF=4，

∴△BMF是等邊三角形，

∴∠MBF=60°，

∴∠MBM′=30°，

則=；

探究：如圖3，

∵AB=8、AD=6，

∴BD=10，

當點M落在BD上時，

∵四邊形BCDA是矩形，

∴OB=OA，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BM是Rt△EBF斜邊EF的中線，

∴BM=EM，

∴∠MBE=∠BEM，

∴∠OAB=∠BEM，

∴EF∥AC，

∴ ，

∵S△ABC=24，

∴S△EBF=．