Question

如圖，在△ABC 中，∠ABC=∠CAB=72°，將△ABC繞點A順時針旋轉α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，連接CE，線段BD（或其延長線）分別交AC、CE于G、F點．
（1）求證：△ABG∽△FCG；
（2）在旋轉的過程中，是否存在一個時刻，使得△ABG與△FCG全等？若存在，求出此時旋轉角α的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形的性質和已知條件可以推出∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，然后根據三角形的內角和定義，推出∠ABD=∠ECA，繼而推出△ABG和△FCG形似；
（2）根據全等三角形的判定定理，當BG=CG時，△ABG與△FCG全等，然后根據BG=CG，結合已知條件推出∠GCB=∠GBC=36°，得∠CAE的度數，即可知旋轉角α的大小
解答：解：（1）證法一：∵△AED是由△ABC繞點A順時針旋轉得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴∠ABD===∠ECA，（5分）
又∵∠BGA=∠CGF，
∴△ABG∽△FCG（7分）
證法二：∵△AED是由△ABC繞點A順時針旋轉得到的，
∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE（3分）
∴，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠DBA=∠ECA（4分）
又∵∠BGA=∠CGF，
∴△ABG∽△FCG（7分）

（2）答：存在（8分）
由（1）知△ABG∽△FCG，∴當BG=CG時，△ABG≌△FCG，
∵∠ABC=∠CAB=72°，∴∠BCA=36°，又△ABG≌△FCG（已知）∴GB=GC，∴∠GCB=∠GBC=36°
又BA=AD∴∠FBA=∠BDA=72°-36°=36°，∴∠BAD=108°，即旋轉角∠α=∠BAD=108°．
點評：本題主要考查同學們對于相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定等知識點的掌握，本題的關鍵在于根據已知求出各相關角的度數，找到相關的相似三角形．