Question

已知：拋物線（為常數，且）.

（1）求證：拋物線與軸有兩個交點；

（2）設拋物線與軸的兩個交點分別為、（在左側），與軸的交點為.

①當時，求拋物線的解析式；

②將①中的拋物線沿軸正方向平移個單位（>0），同時將直線：沿軸正方向平移個單位.平移后的直線為，移動后、的對應點分別為、.當為何值時，在直線上存在點，使得△為以為直角邊的等腰直角三角形?

Answer 1

解：（1）證明：令,則.

△=．

∵ ,

∴ ．

∴ △.   

∴ 方程有兩個不相等的實數根.

∴ 拋物線與軸有兩個交點.

（2）①令,則，

解方程，得.

∵在左側，且，

∴拋物線與軸的兩個交點為，.

∵ 拋物線與軸的交點為，

∴ .

∴ .

在Rt△中，，

．

可得 ．

∵ ，

∴ ．

∴ 拋物線的解析式為.

        ②依題意，可得直線的解析式為，，,

.

∵ △為以為直角邊的等腰直角三角形，

∴ 當時，點的坐標為或.

∴ .

解得 或.

當時，點的坐標為或.

∴.

解得或（不合題意，舍去）.

綜上所述，或.