Question

10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=$\frac{3}{5}$，G為BC上一點（不與B重合），以BG為直徑的圓O交AB于D，作AD的垂直平分線交AD于F，交AC于E，連結DE．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若BG=3，求DE的長；
（3）設BG=x，DE=y，求y與x的函數關系，寫出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）連接OD、DG，由BG為圓的直徑可知∠BDG是直角，然后只要證明∠ODE=90°，即可證明結論成立，根據題目中的條件可以得到∠ODE=90°，本題得以解決；
（2）根據題目中的條件和勾股定理，可以轉化為直角三角形ODE和直角三角形OCD兩直角邊的平方等于OE的平方，從而可以得到DE的長；
（3）根據（2）中的求解方法，可以得到y與x的函數關系式，根據一次函數的性質，可以得到y的最小值．

解答 （1）證明：連接OD、DG，如右圖所示，
∵BG為⊙O的直徑，OD=OB，∠ACB=90°，
∴∠BDG=90°，∠ODB=∠B，∠B+∠A=90°，
∴∠A=∠ODG，∠GDE+∠EDA=90°，
又∵EF是AD的垂直平分線，
∴∠A=∠EDA，
∴∠EDA=∠ODG，
∴∠GDE+∠ODG=90°，
即OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE為⊙O的切線；
（2）連接OE，如右上圖所示，
∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•cosB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=8$，
∵BG=3，
∴OD=1.5，OC=BC-OB=6-1.5=4.5，
∵EF是AD的垂直平分線，
∴EA=ED，
設EA=x，則ED=x，EC=8-x，
∵∠ECO=90°，∠EDO=90°，
∴DE²+OD²=EC²+OC²，
即x²+1.5²=（8-x）²+4.5²，
解得，x=$\frac{41}{8}$，
即DE的長是$\frac{41}{8}$；
（3）連接OE，如右上圖所示，
∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•cosB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=8$，
∵BG=x，
∴OD=0.5x，OC=BC-OB=6-0.5x，
∵EF是AD的垂直平分線，ED=y，
∴EA=ED=y，
∴EC=8-y，
∵∠ECO=90°，∠EDO=90°，
∴DE²+OD²=EC²+OC²，
即y²+（0.5x）²=（8-y）²+（6-0.5x）²，
化簡，得y=$-\frac{3}{8}x+\frac{50}{8}$，（0＜x≤6）
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=6時，y取得最小值，此時y=$-\frac{3}{8}×6+\frac{50}{8}$=4，
即y與x的函數關系是y=$-\frac{3}{8}x+\frac{50}{8}$，（0＜x≤6），y的最小值是4．

點評 本題考查圓的綜合題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，作出合適的輔助線，利用數形結合的思想解答問題．