Question

（2006•自貢）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延長AB到E，使BE=CD，連接CE．
（1）求證：CE=CA；
（2）在上述條件下，若AF⊥CE于點F，且AF平分∠DAE，CD：AE=3：8，求cos∠ACF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明DBEC為平行四邊形，即可證CE=CA．
（2）充分利用平行線分線段成比例定理，求得CF：AC即可．
解答：（1）證明：∵BE∥CD，BE=CD，
∴四邊形DBEC為平行四邊形．
∴CE=DB．
∵DB=AC，
∴CE=CA．

（2）解：延長EC交AD的延長線于G，
∵CD∥AE
∴=，設GC=3a，則GE=8a，故CE=5a，
∵△AEG為等腰三角形，
∴GF=EF=4a，于是CF=GF-GC=a，
則CA=CE=5a．（7分）
∴cos∠ACF=．
點評：做等腰梯形一腰的平行線構造平行四邊形，或者延長兩腰相交構造三角形是梯形題常用的輔助線方法．