Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAB=60°，E為BC的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上存在一點(diǎn)P，使△PBE的周長(zhǎng)最小，則△PBE的周長(zhǎng)的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
+1
【解析】解：連結(jié)DE．
∵BE的長(zhǎng)度固定，
∴要使△PBE的周長(zhǎng)最小只需要PB+PE的長(zhǎng)度最小即可，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC與BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小長(zhǎng)度為DE的長(zhǎng)，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，∠DAB=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
又∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴BD=2，BE=1，DE= ，
∴△PBE的最小周長(zhǎng)=DE+BE= +1，
故答案為： +1．

連接BD，與AC的交點(diǎn)即為使△PBE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P；由菱形的性質(zhì)得出∠BPC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出PE=BE，證明△PBE是等邊三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出結(jié)果．