Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．  

（1）用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；     

（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？       

（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

  ∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．  

∴ =．（0＜＜4）

（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，則AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

    由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即． 

∴ ，

∴ ．  

過M點作MQ⊥BC 于Q，則． 

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝． 

∴ 當x＝時，⊙O與直線BC相切．

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結AP，則O點為AP的中點．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．  

∴ ． AM＝MB＝2． 

故以下分兩種情況討論：

① 當0＜≤2時，．  

∴ 當＝2時，  

② 當2＜＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F．

∵ 四邊形AMPN是矩形，

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN＝BM＝4－x． 

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB． 

∴ ．

∴ ．

＝．

當2＜＜4時，．   

∴ 當時，滿足2＜＜4，．   

綜上所述，當時，值最大，最大值是2．