Question

如圖，二次函數的圖象經過點D（0，），且頂點C的橫坐標為4，該圖象在x軸上截得線段AB長為6．
（1）利用二次函數的對稱性直接寫出點A、B的坐標為________；
（2）求二次函數的解析式；
（3）該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PD最小，求出點P的坐標；
（4）在拋物線上是否存在點Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6，
∴A（1，0）、B（7，0）；

（2）設二次函數的解析式為：y=a（x-h）²+k，
∵頂點C的橫坐標為4，且過點（0，），
∴y=a（x-4）²+k=16a+k①，
又∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6，
∴A（1，0），B（7，0），
∴0=9a+k②，
由①②解得a=，k=-，
∴二次函數的解析式為：y=（x-4）²-或y=x²-x+．

（3）解法一：∵點A、B關于直線x=4對稱，
∴PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD≥DB，
∴當點P在線段DB上時PA+PD取得最小值，
∴DB與對稱軸的交點即為所求點P，
設直線x=4與x軸交于點M，
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，
∴△BPM∽△BDO，
∴，
∴PM==，
∴點P的坐標為（4，）．

解法二：利用待定系數法求一次函數解析式，即直線DB為y=-+．

（4）由（1）知點C（4，-），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cos∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①當點Q在x軸上方時，過Q作QN⊥x軸于N，如果AB=BQ，
由△ACB∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=∠ACB=120°，則∠QBN=60°，
∴QN=3，BN=3，ON=10，此時點Q（10，3），如果AB=AQ，由對稱性知Q（-2，3）
②當點Q在x軸下方時，△QAB就是△ACB，此時點Q的坐標是（4，-），
經檢驗，點（10，3）與（-2，3）都在拋物線上，
綜上所述，經驗證：存在這樣的點Q，使△QAB∽△ABC，
點Q的坐標為（10，3）或（-2，3）或（4，-）．
分析：（1）根據函數的對稱性，又由AB=6，對稱軸x=4，即可求得A，B的坐標；
（2）利用待定系數法，設二次函數的解析式為：y=a（x-h）²+k，又由拋物線過點A，B，D即可求得拋物線的解析式；
（3）由PA=PB，可知：當點P在線段DB上時PA+PD取得最小值，則可利用△BPM∽△BDO求得點P的坐標；
（4）首先求得點C的坐標，利用三角函數求得∠ACB的度數，分當點Q在x軸上方時與當點Q在x軸下方時求解即可，注意要檢驗是否所得結果符合題意．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，根據函數對稱性求點的坐標，以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．