Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于E，F兩點，如圖（1）與（2）是旋轉三角板所得圖形的兩種情況．
（1）三角板繞點O旋轉，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出△OFC是等腰直角三角形時BF的長）；若不能，請說明理由；
（2）三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系？用圖（1）或（2）加以證明；
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊上的點P處（如圖（3）），當AP：AC=1：4時，PE和PF有怎樣的數量關系？證明你發現的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，①當F為BC的中點時，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長度，即可推出BF的長度，②當B與F重合時，③當OC=FC時，根據直角三角形的相關性質，即可推出OF的長度，即可推出BF的長度；
（2）連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
（3）過點P做PM⊥AB，PN⊥BC，結合圖形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，繼而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根據已知條件即可推出PA：AC=1：4得出PE：PF=1：3．
解答：解：（1）△OFC是能成為等腰直角三角形，
①當F為BC的中點時，
∵O點為AC的中點，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=，
∵AB=BC=5，
∴BF=，
②當B與F重合時，
∵OF=OC=，
∴BF=0；

（2）如圖1，連接OB，
∵由（1）的結論可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE=OF．

（3）如圖3，過點P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠AMP=∠FNP=90°，
∴△PNF∽△PME，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC為等腰直角三角形
∴△APM∽△PNC，
∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，
∴PE：PF=1：3．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，解題的關鍵在于作好輔助線，構建相似三角形和全等的三角形．