Question

如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；（不需證明）
（2）如圖③，在△ABC中，∠B=60°，請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：圖①根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，過點P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即為關于直線OP對稱的全等三角形；
（1）猜想FE=FD；
（2）過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FG=FH=FK，根據四邊形的內角和定理求出∠GFH=120°，再根據三角形的內角和定理求出∠AFC=120°，根據對頂角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角邊”證明△EFG和△DFH全等，根據全等三角形對應邊相等可得FE=FD．

解答：解：圖①如圖所示；
（1）FE=FD；

（2）如圖，過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴FG=FH=FK，
在四邊形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，

∠EFG=∠DFH ∠EGF=∠DHF=90° FG=FH

，
∴△EFG≌△DFH（AAS），
∴FE=FD．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，遇到角平分線，作角平分線上的點到兩邊的距離構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．