Question

【題目】為了美化環境，學校準備在如圖所示的矩形ABCD空地上進行綠化，規劃在中間的一塊四邊形MNPQ上種花，其余的四塊三角形上鋪設草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ，已知BC＝30米，AB＝42米，設AN＝x米，種花的面積為y1平方米，草坪面積y2平方米．

（1）分別求y1和y2與x之間的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）當AN的長為多少米時，種花的面積為640平方米？

（3）若種花每平方米需200元，鋪設草坪每平方米需100元，現設計要求種花的面積不大于640平方米，設學校所需費用W（元），求W與x之間的函數關系式，并求出學校所需費用的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y1=-2x2+72x；；（2）當AN的長為16米或20米時種花的面積為640平方米；（3）W=-200（x-18）2+190800，190000.

【解析】

（1）根據三角形面積公式可得y2的解析式，再用長方形面積減去y2，即可得y1的函數解析式；
（2）根據題意把y1=640代入y1=-2x2+72x得關于x的方程，解方程即可得；
（3）列出總費用的函數解析式，將其配方成頂點式，根據花的面積不大于640平方米可得x的范圍，結合此范圍根據二次函數的性質即可得函數的最大值，從而得解．

解：（1）根據題意，得，y1=42×30-y2=-2x2+72x；

（2）根據題意，把y1=640代入y1=-2x2+72x得：-2x2+72x=640，
解得：x1=16，x2=20，
故當AN的長為16米或20米時種花的面積為640平方米；

（3）設總費用為W元，
則W=200（-2x2+72x）+100（2x2-72x+1260）=-200（x-18）2+190800，
由（2）知當0＜x≤16或20≤x≤30時，y1≤640，
在W=-200（x-18）2+190800中，當x＜18時，W隨x的增大而增大，當x＞18時，W隨x的增大而減小，
∴當x=16時，W取得最大值，最大值W=190000，
當x=20時，W取得最大值，最大值W=190000，
∴學校所需費用的最大值為190000元．