Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠AMB=75°，∠DCM=45°，CM=BM．
求證：
（1）△BMC為等邊三角形；
（2）AB=AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠BMC=180°-75°-45°=60°，CM=BM，利用等邊三角形的判定得出即可；
（2）首先利用AAS，證明△AMB≌△EBC，進而得出AD=CE，即可得出答案．
解答：證明：（1）∵∠AMB=75°，∠DCM=45°，
∴∠BMC=180°-75°-45°=60°，
∵CM=BM，
∴△BMC是等邊三角形，（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）；

（2）過點C作CE⊥AB于點E，
∵△BMC是等邊三角形，
∴BC=BM，∠CBM=60°，
∵∠AMB=75°，∴∠MBA=90°-75°=15°，
∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=15°+60°=75°，
∴，
∴△AMB≌△EBC（AAS），
∴AB=CE，
∵AB∥CD，AD⊥AB，CE⊥AB，
∴AD=CE，
∴AB=AD．
點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、直角梯形性質等知識，根據已知作出高線得出△AMB≌△EBC是解題關鍵．