Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，點P是邊BC（含端點）上的動點，過P作PR⊥AB，垂足為點R，過R作RS⊥BC，垂足為點S．在線段RS上，存在一點T，若以PT為直角邊作等腰直角三角形PTF，其頂點F恰好落在AC上．
（1）求證：△PRS∽△ABC；
（2）探索并證明線段TS與線段CP的數量關系；
（3）假設BC=3，CP=x，等腰直角三角形PTF的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并求x為何值時，y有最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由PR⊥BC，RS是∠PRB的平分線，易證△ABC是等腰直角三角形，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△PRS∽△ABC；
（2）根據AAS即可證得△PTS≌△FPC，又由全等三角形的對應邊相等，即可證得TS=CP；
（3）根據題意分別求得：BS，PS，ST，CP的值，又由勾股定理即可求得等腰Rt△PRB的面積y=（x-）²+，然后根據函數的性質和自變量的范圍求出y的最大和最小值．
解答：（1）證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵PR⊥BC，
∴∠PRS=∠BRS=45°，
∴∠RPS=45°
∴∠PRS=45°=∠B，∠SPR=∠A，
∴△PRS∽△ABC；

（2）解：線段TS與線段CP的數量關系是相等，即TS=PC．理由如下：
∵△PTF是等腰直角三角形，∠FPT=90°，
∴PT=PF．
又∵∠C=∠PST=90°，
∴∠TPS=∠PFC，∠PTS=∠FPC（同角的余角相等）．
∵在△PTS與△FPC中，
∴，
∴△PTS≌△FPC（ASA），
∴TS=PC；

（3）解：由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PC=3，∴PS==．
由（2）知：TS=PC=x，
∴等腰Rt△PTF的面積y=PT•PF=PT²=PS²+ST²=×[（）²+x²]=x²-x+=（x-）²+．
根據二次函數的性質，當x=時，y_最小值=．
如圖2，當點T運動與R重合時，PC=TS為最大．
易證等腰Rt△PCF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PC=BC=1．
y_最大值=1．
點評：此題考查了全等三角形與相似三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識的綜合應用．題目難度適中，注意數形結合思想的應用．