Question

（2001•山東）已知，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點P（1，-2）、Q（-1，2），且與x軸交于A、B兩點，（A在B左側，與y軸交于C點，連接AC、BC．
（1）求a與c的關系式；
（2）若（O為坐標原點），求拋物線的解析式；
（3）是否存在滿足條件tan∠CAB•cot∠CBA=1的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將P、Q的坐標代入拋物線的解析式中，將b消去即可得出a，c的關系式．
（2）本題可先將所給的等式進行適當變形，然后設出A、B的橫坐標，用韋達定理求出待定系數的值，即可求出拋物線的解析式．
（3）根據已知的條件可知：∠CAB=∠CBA，此時OA=OB，那么拋物線關于y軸對稱，此時對稱軸x=0，據此可求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）將P、Q的坐標代入拋物線的解析式可得：
，
解得b=-2，a=-c．
（2）由①知y=ax²-2x-a，設A（x₁，0），B（x₂，0）．
令y=0，ax²-2x-a=0；
x₁+x₂=，x₁x₂=-1，
∴A在x負半軸上，B在x正半軸上
∴OA=-x₁，OB=x₂
====
=
∴4=，
即a²=3，
∴a=±，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-或y=-x²-2x+．
（3）∵tan∠CAB•cot∠CBA=1，
∴OA=OB，
由于A、B分別在原點兩側，
因此A、B關于原點對稱，即拋物線的對稱軸為y軸，
∴x==0，顯然不成立，
因此不存在這樣的拋物線．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系等知識．