Question

（已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE。

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長；
（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE²=AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

(1)見解析；（2）24cm；（3）存在，過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點，證明見解析.

試題分析：（1）由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質，易證得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，則可證得四邊形AFCE是平行四邊形，又由AC⊥EF，則可證得四邊形AFCE是菱形；
由已知可得：S△ABF=AB•BF=24cm²，則可得AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），則可求得AB+BF的值，繼而求得△ABF的周長．
過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點，首先證明四邊形AFCE是菱形，然后根據題干條件證明△AOE∽△AEP，列出關系式．
試題解析：
（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S△ABF=AB•BF=24cm²，
∴AB•BF=48（cm²），
∴AB²+BF²=（AB+BF^）2-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
（3）證明：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．
當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四邊形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴，則AE²=A0•AP，
∵四邊形AFCE是菱形，
∴AO＝AC，
∴AE²=AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．