Question

如圖，已知：拋物線y=x²+bx-3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，并且OA=OC．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）過點C作CE∥x軸，交拋物線于點E，設拋物線的頂點為點D，試判斷△CDE的形狀，并說明理由；
（3）設點M在拋物線的對稱軸l上，且△MCD的面積等于△CDE的面積，請寫出點M的坐標（無需寫出解題步驟）．

Answer 1

解：（1）當x=0時，得y=-3，
∴C（0，-3），
∵OA=OC，
∴OA=3，即得A（-3，0）．
由點A在拋物線y=x²+bx-3上，
得9-3b-3=0．解得b=2．
∴所求拋物線的解析式是y=x²+2x-3．

（2）由CE∥x軸，C（0，-3），可設點E（m，-3）．
由點E在拋物線y=x²+2x-3上，
得m²+2m-3=-3．
解得m₁=-2，m₂=0．
∴E（-2，-3）．
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴頂點D（-1，-4）．
∵，，
CE=2，
∴CD=ED，且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．

（3）M₁（-1，-2），M₂（-1，-6）．（，其中只寫出一個得2分）
分析：（1）首先拋物線y=x²+bx-3與y軸相交于點C，求得C點的坐標為（0，-3）．再根據OA=OC及圖象求得A點的坐標值．再將A點的坐標值代入拋物線y=x²+bx-3，求得b的值，那么這條拋物線的解析式即可確定．
（2）要判斷△CDE的形狀，首先要得到線段ED、CD、EC的長．因而必須求得點E、D、C的坐標值．再根據CE∥x軸，即可知E點的縱坐標等于C點的縱坐標，根據拋物線的解析式求得E點的橫坐標．求D點將拋物線寫為頂點式，即可確定．
（3）由（2）知△CDE是等腰直角三角形，因而點M到直線CD的距離等于ED的長，則MD=ED，點D的坐標值為定值，因而點M的坐標值也就確定．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意這個特殊的等腰直角三角形CDE、△MCD邊與坐標間的關系．