Question

如圖，已知：拋物線y₁=x²-2mx+1，y₂=-x²-2mx-1，CE、DF分別是拋物線y₁、y₂的對稱軸．
（1）請用2種不同的方法，判斷拋物線平行四邊形y₁、y₂中哪條經過點A，哪條經過點B？
（2）求證：CE=DF，并求m的取值范圍；
（3）直線l垂直于x軸，與拋物線y₁、y₂分別交于MN兩點，求線段MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于A、B分別處于y軸的正半軸和負半軸上，若判斷拋物線平行四邊形y₁、y₂中哪條經過點A，哪條經過點B，可采用兩種方法：①根據拋物線的開口方向判斷，②根據拋物線與y軸的交點坐標判斷．
（2）分別將兩個函數關系式化為頂點式，然后求出它們的頂點坐標，即可得到CE、DF的長，然后進行比較即可；
在求m的取值范圍時，以y₁為例，可根據拋物線的對稱軸位置和頂點的位置來列不等式組，求出m的取值范圍．
（2）線段MN的長，實際是兩個拋物線函數值的差的絕對值，可令y₁-y₂，所得表達式即為MN的長，根據MN與x的函數關系式，即可求得MN的最小值．

解答：解：（1）方法一：∵y₁=x²-2mx+1，a=1＞0；y₂=-x²-2mx-1，a=-1＜0，
∴y₁經過點A，y₂經過點B．（2分）
方法二：∵y₁=x²-2mx+1，c=1＞0；y₂=-x²-2mx-1，c=-1＜0，
∴y₁經過點A，y₂經過點B．（4分）

（2）∵y₁=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²，y₂=-x²-2mx-1=（x+m）²+m²-1，
CE=|m²-1|，DF=|1-m²|=|m²-1|，
∴CE=DF；（6分）
∵y₁=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²經過點A，
∴

x=m＞0 y=-m2+1＞0

，
解得：0＜m＜1．（7分）

（3）∵y₁-y₂=（x²-2mx+1）-（-x²-2mx-1）=2x²+2，（8分）
∴當x=0時，MN_最小值=2．（9分）

點評：此題考查了二次函數的函數圖象與系數的關系、頂點坐標的求法以及二次函數最值的應用，難度適中．