Question

如圖，在直角坐標系中，⊙C與y軸相切，與直線l相切于點B，與x軸交于點D，C點的坐標為（1，0），直線l過點A（-1，0）．
（1）求直線l的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點P，使△PAB是等腰三角形，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）求過A、B、D三點的拋物線的解析式，并寫出頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）過B作BE垂直于x軸，由BC和AB的長得到角BAC為30°，且根據勾股定理求出AB的長，在直角三角形ABE中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BE的長，根據勾股定理求出AE的長，從而得到OE的長，寫出點B的坐標，設出直線l的解析式為y=kx+b，把A和B的坐標代入即可求出k與b，確定出直線l的解析式；
（2）存在．這樣的點有四個，分AP=AB，BP=AB，AP=BA三種情況考慮，利用等腰三角形的性質即可求出各自的坐標；
（3）根據A，D和B的坐標設出拋物線的兩根式y=a（x-x₁）（x-x₂），把相應的坐標和值代入即可求出解析式．

解答：解：（1）連接CB，由AB為圓C的切線，得到CB⊥AB，
在直角三角形ABC中，AC=2，BC=1，∴∠BAC=30°，
且AB=

3

，過點B作BE⊥x軸，
∴BE=

1

2

AB=

3

2

，AE=ABcos30°=

3

2

，即OE=

1

2

，
∴點B坐標為（

1

2

，

3

2

），又點A（-1，0），
設直線l的解析式為y=kx+b，
把A和B的坐標代入得：

-k+b=0 1 2 k+b= 3 2

，
解得：

k= 3 3 b= 3 3

，則直線l的解析式為y=

3

3

x+

3

3

；

（2）存在．
當AP=AB時，AP=

3

，由OA=1，得到OP=

3

+1或

3

-1，則P₁的坐標為（-

3

-1，0），P₂（

3

-1，0）；
當BP=BA時，由（1）得到AE=

3

2

，△ABP為等腰三角形，根據三線合一得到E為AP中點，則AP=3，
又OA=1，所以OP=2，故P₃（2，0）；
當PA=PB時，連接BO，由∠ACB=60°，且CO=BO，
所以△OCB為等邊三角形，則OB=OA=1，即P₄與原點重合，故P₄坐標為（0，0），
綜上，點P的坐標為（-

3

-1，0）或（

3

-1，0）或（2，0）或（0，0）；

（3）∵A（-1，0），D（2，0），B（

1

2

，

3

2

），
設所求拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2），
把B的坐標代入得：

3

2

=-

9

4

a，解得a=-

2 3

9

，
則所求拋物線的解析式為：y=-

2 3

9

（x+1）（x-2）=-

2 3

9

x²+

2 3

9

x+

4 3

9

，
此時頂點坐標為（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題考查了圓的切線性質，等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，考查了利用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．