Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圓規按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法） ①作AC的垂直平分線，交AB于點O，交AC于點D；
②以O為圓心，OA為半徑作圓，交OD的延長線于點E．
（2）在（1）所作的圖形中，解答下列問題． 點B與⊙O的位置關系是；（直接寫出答案）
（3）若DE=2，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示；

（2）點B在⊙O上
（3）解：∵OD⊥AC，且點D是AC的中點，

∴AD= AC=4，

設⊙O的半徑為r，

則OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，

在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，

即r2=42+（r﹣2）2，

解得r=5．

∴⊙O的半徑為5

【解析】解： （2）連結OC，如圖， ∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴點B在⊙O上；
所以答案是點B在⊙O上
（1）先作AC的垂直平分線，然后作⊙O；（2）通過證明OB=OA來判斷點在⊙O上；（3）設⊙O的半徑為r，在Rt△AOD中利用勾股定理得到r2=42+（r﹣2）2 ， 然后解方程求出r即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用點和圓的三種位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r．