Question

先觀察下列等式，然后用你發現的規律解答下列問題．

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，┅┅
（1）根據你發現的規律寫出第5個等式：

 

．
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．（用含有n的式子表示）
（3）計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+┅┅+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）觀察發現，每一個等式的左邊都是一個分數，其中分子是1，分母是連續的兩個正整數之積，并且如果是第n個等式，分母中的第一個因數就是n，第二個因數是n+1；等式的右邊是兩個分數的差，這兩個分數的分子都是1，分母是連續的兩個正整數，并且是第n個等式，被減數的分母就是n，減數的分母是n+1．然后把n=5代入即可得出第5個等式；
（2）先將（1）中發現的第n個等式的規律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

代入，再計算即可；
（3）先類比（1）的規律，得出

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），再計算即可．

解答：解：（1）

1

5×6

=

1

5

-

1

6

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+┅┅+

1

2007×2009

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2007

-

1

2009

)
=

1

2

×(1-

1

2009

)
=

1004

2009

．
故答案為：

1

5×6

=

1

5

-

1

6

． 

n

n+1

．

點評：本題考查了規律型：數字的變化，得出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），以及抵消法的運用是解題的關鍵．