Question

【題目】如圖，直角坐標系中，拋物線y＝a( x－4 )2－16（a>0）交x軸于點E，F（E在F的左邊），交y軸于點C，對稱軸MN交x軸于點H；直線y＝x＋b分別交x，y軸于點A，B．

（1）寫出該拋物線頂點D的坐標及點C的縱坐標（用含a的代數式表示）.

（2）若AF=AH=OH，求證：∠CEO=∠ABO.

Answer 1

【答案】（1）頂點D坐標為（4，－16）；點C的縱坐標為16a－16；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據二次函數頂點式的性質解答即可得頂點坐標，令x=0，即可得C點縱坐標；（2）根據頂點坐標及AF=AH=OH可得F、A、E點坐標，把F和A點坐標分別代入二次函數和一次函數解析式可得a、b的值，進而可求出C點坐標及OC的長，利用∠CEO和∠ABO的正切值相等即可證明∠CEO=∠ABO.

（1）∵二次函數解析式為y＝a( x－4 )2－16（a>0），

∴頂點D坐標為（4，－16），

當x=0時，y=a(0-4)2-16=16a-16，

∴點C的縱坐標：16a－16.

（2）∵D（4，－16），

∴OH=4，

∵AF=AH=OH，EH=HF，

∴F(12，0)，A(8，0)，E(－4，0)，

∴，，

，，

∴C(0，－12)，OC=12，B（0，-），OB=，

，，

∴∠CEO=∠ABO.