Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，-1），拋物線經過點B，且與直線l的另一個交點為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；

（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為t（0<t<4），DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數關系式以及p的最大值；

（3）M是平面內一點，將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉90°后，得到△A'O'B'，點A、O、B的對應點分別是點A'、O'、B'． 若△A'O'B'的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A’的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）n=2，；（2）p=，p有最大值；（3）點A'的橫坐標為：或.

【解析】

（1）把點B的坐標代入直線解析式可得m的值，再把點C的坐標代入直線解析式可得n的值，然后利用待定系數法求二次函數解析式即可；

（2）令y=0求出點A的坐標，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關系式，再利用二次函數的最值問題解答；

（3）分兩種情況進行討論：①當點O’、B’在拋物線上時，由O’B’=OB=1；②當點A’、B’在拋物線上時，由A’B’=AB=，分別求出點A’的橫坐標即可．

（1）將B（0，-1）代入得：m=－1，

在中，當y=0時，x=，即A(，0)，

∵過點C（4，n），得：n=2，即C(4，2)，

將B（0，-1）、C（4，n），代入得：

，解得：，

即拋物線的解析式為：.

（2）由（1）知，OA=，OB=1，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=，

∵DE∥y軸，

∴∠ABO=∠DEF，

∴sin∠DEF= sin∠ABO=，cos∠DEF=cos∠ABO=，

∴EF=DE·cos∠DEF=DE，DF=DE·cos∠DEF=DE，

∴p=2（DE+DF）=DE，

∵點D的橫坐標為t，

∴D(t，)，E(t，)，

∴DE=－（）=，

p=（）

=，

∴當t=2時，p有最大值.

（3）由題意知，A’、O’橫坐標相等，此二點不會同時在拋物線上，

①當點O’、B’在拋物線上時，由O’B’=OB=1，

拋物線的對稱軸：x=得，O’橫坐標為－=，

即A’橫坐標為：；

②當點A’、B’在拋物線上時，由A’B’=AB=，

設點A’(n，y)，則B’(n+1，y－)，

∴，解得：n=

即A’橫坐標為：；

綜上所述，點A’的橫坐標為：或.