Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）.

（1）求∠BAC的度數；

（2）求△ABC面積的最大值.

（參考數據： ，，.）

Answer 1

【答案】解：(1) 解法一

連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E.

∵OE⊥BC，BC=，

∴. ………………1分

在Rt△OBE中，OB=2，∵，

∴, ∴，

∴. ………………4分

解法二

連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD.

∵BD是直徑，∴BD=4，.

在Rt△DBC中，,

∴，∴.………………4分

(2) 解法一

因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處. ………………5分

過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC，.

在Rt△ABE中，∵，

∴，

∴S△ABC=.

答：△ABC面積的最大值是. ………………7分

解法二

因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積大，此時點A落在優弧BC的中點處. ………………5分

過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC.

∵, ∴△ABC是等邊三角形.

在Rt△ABE中，∵，

∴，

∴S△ABC=.

答：△ABC面積的最大值是. ………………7分

【解析】略