Question

已知：如圖，直徑為OA的⊙M與x軸交于點O、A，點B、C把弧 CA分為三等份，連接MC并延長交y軸于點D（0，3）

（1）求證：△OMD≌△BAO；

（2）若直線把⊙M的周長和△OMD面積均分為相等的兩部份，求該直線的解析式.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接BM，根據三等份，求出∠1、∠5、∠3、∠2的度數，推出∠1=∠3，根據直徑求出∠OBA=∠DOM=90°，根據AAS求出全等即可；

（2）根據面積二等份，推出直線過M和（0，）點，求出OM，得出M的坐標，代入解析式求出即可．

試題解析：（1）連接BM，

∵B、C把弧OA三等分，∴∠1=∠5=60°.

∵OM=BM，∴∠2=∠5=30°.

∵OA為圓M的直徑，∴∠ABO=90°. ∴AB=OA=OM，∠3=60°. ∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°.

在△OMD和△BAO中，，

∴△OMD≌△BAO．

（2）若直線把圓M的面積分為二等份，則直線必過圓心M.

∵D（0，3），∠1=60°，OD=3， tan60°=，∴，即.

∴M（，0）.

把M（，0）代入y=kx+b，得，

又直線平分面積，必過點（0，）代入得：，

二者聯立解得：.

∴直線為.

考點：1.圓周角定理；2.解二元一次方程組；3.直線上點的坐標與方程的關系；4.三角形的面積；5.全等三角形的判定和性質；6.圓心角、弧、弦的關系．