Question

已知：如圖，直徑為OA的⊙M與x軸交于點O、A，點B、C把弧 CA分為三等份，連接MC并延長交y軸于點D（0，3）
（1）求證：△OMD≌△BAO；
（2）若直線y=kx+b把⊙M的周長和△OMD面積均分為相等的兩部分，求該直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）連接BM，根據三等份，求出∠1、∠5、∠3、∠2的度數，推出∠1=∠3，根據直徑求出∠OBA=∠DOM=90°，根據AAS求出全等即可；
（2）根據面積二等份，推出直線過M和（0，1.5）點，求出OM，得出M的坐標，代入解析式求出即可．

解答：（1）證明：連接BM，
∵B、C把弧OA三等分，∴∠1=∠5=60°，
∵OM=BM，
∴∠2=

1

2

∠5=30°，
∵OA為圓M的直徑，
∴∠ABO=90°，
∴AB=

1

2

OA=OM，∠3=60°，
∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°，
在△OMD和△BAO中，

∠1=∠3 OM=AB ∠DOM=∠ABO

，
∴△OMD≌△BAO．

（2）若直線把圓M的面積分為二等份，
則直線必過圓心M，
∵D（0，3），∠1=60°，OD=3，
tan60°=

OD

OM

，

3

=

3

OM

∴OM=

3

3

=

3

，
∴M（

3

，0），
把M（

3

，0）代入y=kx+b，
又∵直線平分面積，必過點（0，1.5）代入得：

1.5=b 0= 3 k+b

，
解得：k=-

3

2

，b=1.5，
∴直線為y=-

3

2

x+

3

2

．

點評：本題綜合考查了用待定系數法求一次函數的解析式，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，解二元一次方程組，三角形的面積，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和運用，此題綜合性比較強，難度適中，主要培養學生分析問題和解決問題的能力．