Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O 為坐標原點，P、Q 是反比例函數（x>0）圖象上的兩點，過點 P、Q 分別作直線且與 x、y 軸分別交于點 A、B和點 M、N．已知點 P 為線段 AB 的中點．

(1)求△AOB 的面積（結果用含 a 的代數式表示）；

(2)當點 Q 為線段 MN 的中點時，小菲同學連結 AN，MB 后發現此時直線 AN 與直線MB 平行，問小菲同學發現的結論正確嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）S=2a+2；（2）正確，理由見解析

【解析】

（1）過點P作PP⊥x軸，PP ⊥y軸，由P為線段AB的中點，可知PP，PP是△AOB的中位線，故OA=2PP，OB=2PP，再由點P是反比例函數y=（x>0）圖象上的點，可知S = OA×OB=×2PP×2PP=2PP×PP=2a+2；

（2）由點Q為線段MN的中點，可知同（1）可得S=S =2a+2，故可得出OAOB=OMON，即 ，由相似三角形的判定定理可知△AON∽△MOB，故∠OAN=∠OMB，由此即可得出結論．

(1)過點P作PP⊥x軸,PP⊥y軸，

∵P為線段AB的中點，

∴PP，PP是△AOB的中位線，

∴OA=2PP,OB=2PP，

∵點P是反比例函數y= (x>0)圖象上的點，

∴S =OA×OB=×2PP×2PP=2PP×PP=2a+2；

(2)結論正確.

理由：∵點Q為線段MN的中點，

∴同(1)可得S=S =2a+2，

∴OAOB=OMON，

∴，

∵∠AON=∠MOB，

∴△AON∽△MOB，

∴∠OAN=∠OMB，

∴AN∥MB.