Question

【題目】如圖，為等邊三角形，為其內(nèi)心，射線交于點(diǎn)， 點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與射線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為__________

Answer 1

【答案】或；

【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和內(nèi)心的定義可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC，然后利用銳角三角函數(shù)求出BD、CD、OD和OC，然后根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)O的相對(duì)位置分類(lèi)討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定及性質(zhì)即可求出結(jié)論．

解：∵為等邊三角形，為其內(nèi)心，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC

∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°

∴BD=CD==，AB =AC=BC=2BD=

連接OC

易知OC=OA，∠OCD=30°

在Rt△OCD中，OD=CD·tan∠OCD=2，OC=2OD=4

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，如下圖所示，設(shè)射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F

∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD－PO=3

∴∠PCE=∠ACB=60°

∴∠ECB=∠PCA

∵BC=AC

∴△ECB≌△PCA

∴BE=AP=3，∠EBC=∠PAC=30°

∴EF=BE·sin∠EBC=,BF= BE·cos∠EBC=

∴CF=BC－BF=

∵EF⊥BC，AQ⊥BC

∴EF∥AQ

∴△CDQ∽△CFE

∴

即

解得：DQ=；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，如下圖所示，設(shè)射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F

∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD＋PO=5

∴∠PCE=∠ACB=60°

∴∠ECB=∠PCA

∵BC=AC

∴△ECB≌△PCA

∴BE=AP=5，∠EBC=∠PAC=30°

∴EF=BE·sin∠EBC=,BF= BE·cos∠EBC=

∴CF=BC－BF=

∵EF⊥BC，AQ⊥BC

∴EF∥AQ

∴△CDQ∽△CFE

∴

即

解得：DQ=；

綜上：DQ=或

故答案為：或．