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如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,MN∥AB且分別交AO、BO于M、N.求證:

(1)BM=CN;

(2)BM⊥CN.

答案:
解析:

  證明:∵四邊形ABCD是正方形,

  ∴OA=OB,∠MAB=∠NBC=

  又∵MN∥AB,

  ∴AM=BN.

  在△ABM和△BCN中,

  

  ∴△ABM≌△BCN.

  ∴BM=CN,∠MBA=∠NCB.

  又∵∠ABM+∠CBM=

  ∴∠NCB+∠CBM=

  ∴NC⊥MB.


提示:

  點悟:要證的BM和CN分別位于△ABM和△BCN中,應證明△ABM≌△BCN.題中易知AB=BC,∠CAB=∠CBN=,只需再證AM=BN.由MN∥AB不難得出AM=BN.第(2)題中要證BM⊥CN,只需證明∠BCN+∠CBM=即可,在第(1)題的基礎上會得到∠ABM=∠NCB,由∠ABM+∠CBM=即得∠BCN+∠CBM=,即BM⊥CN.

  點撥:正方形既具備菱形的性質,又具備矩形的性質,是特殊的平行四邊形,其對角線相等、互相垂直平分并且每一組對角的性質經常在論證和計算中用到.


練習冊系列答案
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精英家教網如圖:在正方形網格上有△ABC,△DEF,說明這兩個三角形相似,并求出它們的相似比.

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如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D,過點D作⊙O的切線精英家教網,交BC于點E.
(1)求證:點E是邊BC的中點;
(2)若EC=3,BD=2
6
,求⊙O的直徑AC的長度;
(3)若以點O,D,E,C為頂點的四邊形是正方形,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.

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23、如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,點E是邊AC的中點,連接DE,DE的延長線與邊BC相交于點F,AG∥BC,交DE于點G,連接AF、CG.
(1)求證:AF=BF;
(2)如果AB=AC,求證:四邊形AFCG是正方形.

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(2012•陜西)如圖,正三角形ABC的邊長為3+
3

(1)如圖①,正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上,頂點N在邊AC上,在正三角形ABC及其內部,以點A為位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面積最大(不要求寫作法);
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的邊長;
(3)如圖②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在邊AB上,點P、N分別在邊CB、CA上,求這兩個正方形面積和的最大值和最小值,并說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于點O,連接OC,已知AC=5,OC=6
2
,求另一直角邊BC的長.

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