Question

如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN∥AB且分別交AO、BO于M、N．求證：

(1)BM＝CN；

(2)BM⊥CN．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴OA＝OB，∠MAB＝∠NBC＝． 　　又∵MN∥AB， 　　∴AM＝BN． 　　在△ABM和△BCN中， 　　 　　∴△ABM≌△BCN． 　　∴BM＝CN，∠MBA＝∠NCB． 　　又∵∠ABM＋∠CBM＝， 　　∴∠NCB＋∠CBM＝． 　　∴NC⊥MB．

提示：

點悟：要證的BM和CN分別位于△ABM和△BCN中，應證明△ABM≌△BCN．題中易知AB＝BC，∠CAB＝∠CBN＝，只需再證AM＝BN．由MN∥AB不難得出AM＝BN．第(2)題中要證BM⊥CN，只需證明∠BCN＋∠CBM＝即可，在第(1)題的基礎上會得到∠ABM＝∠NCB，由∠ABM＋∠CBM＝即得∠BCN＋∠CBM＝，即BM⊥CN． 　　點撥：正方形既具備菱形的性質，又具備矩形的性質，是特殊的平行四邊形，其對角線相等、互相垂直平分并且每一組對角的性質經常在論證和計算中用到．