Question

如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線經(jīng)過A，B，C三點，頂點為F．

（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標(biāo)；

（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：

①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標(biāo)；

②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，

∴A（-2，0），B（8，0）。

如圖所，連接CE，

在Rt△OCE中，，CE=5，

由勾股定理得：，

∴C（0，－4）。

（2）∵點A（－2，0），B（8，0）在拋物線上，

∴設(shè)拋物線的解析式為。

∵點C（0，－4）在拋物線上，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：，即。

∵。

∴頂點F的坐標(biāo)為（3，）。

  （3）①∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，

∴若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|y_M|=4。

（I）若y_M=4，則，

整理得：，解得或。

∴點M的坐標(biāo)為（，4）或（，4）。

（II）若y_M=－4，則，

整理得：，解得x=6或x=0（與點C重合，故舍去）。

∴點M的坐標(biāo)為（6，－4）。

綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為：（，4）或（，4）或（6，－4）。

②直線MF與⊙E相切。理由如下：

由題意可知，M（6，－4）。

如圖，連接EM，MF，過點M作MG⊥對稱軸EF于點G，則MG=3，EG=4。

在Rt△MEG中，由勾股定理得：，

∴點M在⊙E上。

由（2）知，F(xiàn)（3，），∴EF=。

∴。

在Rt△MGF中，由勾股定理得：，

在△EFM中，∵，

∴△EFM為直角三角形，∠EMF=90°。

∵點M在⊙E上，且∠EMF=90°，

∴直線MF與⊙E相切。

【解析】（1）由題意可直接得到點A、B的坐標(biāo)，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標(biāo)。

（2）已知點A、B、C的坐標(biāo)，利用交點式與待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標(biāo)。

（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得點M的坐標(biāo)。

②如解答圖，作輔助線，可求得EM=5，因此點M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線MF與⊙E相切。