Question

如圖所示，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，已知Rt△DAE，∠A=90°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△DCF（∠C=90°），再將△DCF沿DA向左平移6個單位長度后得到△ABH（∠B=90°）．
（1）畫出△DCF及△ABH；
（2）AH與DE有怎樣的位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論；
（3）若AH與DE相交于點G，求AG的長．

Answer 1

分析：（1）按要求作圖即可．作旋轉(zhuǎn)后的圖形的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，基本作法是①先確定圖形的關(guān)鍵點；②利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對應(yīng)點；③按原圖形中的方式順次連接對應(yīng)點．
（2）根據(jù)題目給出的作法，顯然DE⊥DF，而△ABH由△DCF平移所得，因此AH∥DF，由此可判斷出AH與DE的位置關(guān)系是垂直．
（3）由圖易求得AE、AD、DE的長，然后根據(jù)直角三角形的面積不同表示方法即可求出AG的長．

解答：解：（1）如圖所示，△DCF、△ABH即為所求．

（2）AH⊥DE；
證明：∵△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△DCF，
∴∠EDF=90°；
∵△DCF沿DA向左平移到點A后得到△ABH，
∴AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥DE．

（3）∵∠AGE=∠B=90°，∠GAE=∠BAH，
∴△AEG∽△AHB，
∴

AG

AB

=

AE

AH

；
∵AH=

AB2+BH2

=

62+32

=3

5

，
∴

AG

6

=

3

3 5

，
∴AG=

6 5

5

．
解法二：∵∠EAD=∠AGE=90°，
∴DE=

AE2+AD2

=

32+62

=3

5

，
∴DE•AG=AE•AD，即3

5

•AG=3×6，
∴AG=

6 5

5

．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的作圖方法，同時還涉及到垂線的判定以及直角三角形面積的計算方法，難度不大．