Question

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點．過點D作DE⊥AC交AC邊于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據三角形的中位線定理可求出OD∥AC，根據切線的性質可證明DE⊥OD，進而得證．
（2）過O作OF⊥BD，根據等腰三角形的性質及三角函數的定義用OB表示出OF、CF的長，根據三角函數的定義求解．

解答：（1）證明：連接OD．
∵O為AB中點，D為BC中點，
∴OD∥AC．
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥OD．
∴DE⊥AC．

（2）解：過O作OF⊥BD，則BF=FD．
在Rt△BFO中，∠B=30°，
∴OF=

1

2

OB，BF=

3

2

OB．
∵BD=DC，BF=FD，
∴FC=3BF=

3 3

2

OB．
在Rt△OFC中，
tan∠BCO=

FO

FC

=

1 2 OB

3 3 2 BO

=

1

3 3

=

3

9

．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理及切線的性質與判定、三角函數的定義等知識點，有一定的綜合性，根據已知得出OF=

1

2

OB，BF=

3

2

OB，FC=3BF=

3 3

2

OB是解題關鍵．