Question

【題目】如圖，△ABC中

（1）請你利用無刻度的直尺和圓規在平面內畫出滿足PB2＋PC2＝BC2的所有點P構成的圖形，并在所作圖形上用尺規確定到邊AC、BC距離相等的點P．（作圖必須保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BP＝

【解析】

（1）根據PB2＋PC2＝BC2得出P點所構成的圓以BC為直徑，根據垂直平分線畫法畫出O點，補全⊙O，再作∠ACB的角平分線與⊙O的交點即是P點.

（2）設⊙O與AC的交點為H，AH＝x，得到AH、BH，根據題意求出OP∥AC，即可得出OP⊥BH，BQ＝BH，OQ=CH,求出PQ，根據勾股定理求出BP.

(1)如圖：

（2）由（1）作圖，設⊙O與AC的交點為H，連接BH，∴∠BHC＝90°

∵BC＝15，AC＝14，AB＝13

設AH＝x ∴HC＝14－x

∴

解得：x＝5

∴AH＝5

∴BH＝12.

連接OP，由（1）作圖知CP平分∠BCA

∴∠PCA＝∠BCP

又∵OP＝OC

∴∠OPC＝∠BCP

∴∠OPC＝∠PCA

∴OP∥CA

∴OP⊥BH 與點Q

∴BQ＝BH＝6

又BO＝

∴OQ＝

∴PQ＝

∴BP＝.