Question

已知拋物線的頂點坐標為，且經過點C（1，0），若此拋物線與x軸的另一交點為點B，與y軸的交點為點A，設P、Q分別為AB、OB邊上的動點，它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為每秒1個單位，設P、Q移動時間為t（0≤t≤4）
（1）求此拋物線的解析式并求出P點的坐標（用t表示）；
（2）當△OPQ面積最大時求△OBP的面積；
（3）當t為何值時，△OPQ為直角三角形？
（4）△OPQ是否可能為等邊三角形？若可能請求出t的值；若不可能請說明理由，并改變點Q的運動速度，使△OPQ為等邊三角形，求出此時Q點運動的速度和此時t的值．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-）²-，代入點（1，0），得：a=；
∴y=（x-）²-．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右圖，過點P作PM⊥y軸，垂足為點M，則：
==，得：==
∴AM=t，PM=t
∴P（t，3-t）．

（2）如圖，過點P作PN⊥x軸，垂足為點N，
S_△OPQ=OQ•PN=t•（3-t）=t-t²=-（t-）²+
∴當t=時，S_△OPQ最大=．
此時OP為AB邊上的中線
∴S_△OBP=S_△AOB=××3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，則 =，
∴=，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，則OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-t）²+（t）²+（3-t）²+（t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
當t=3時，△OPQ為直角三角形．

（4）∵OP²=（3-t）²+（t）²，PQ²=（3-t）²+（t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等邊三角形．
設Q點的速度為每秒k個單位時，△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•t，得 k=
∵PN=OP=•t=t
∴3-t=t，得t=．
分析：（1）將拋物線的解析式設為頂點式，再將C點坐標代入該解析式中，即可求得待定系數的值．求解P點坐標時，可過P作y軸的垂線，通過構建的相似三角形求出P點的橫、縱坐標．
（2）在（1）中求得P點坐標，以OQ為底、P點縱坐標為高求出關于△OPQ的面積和t的函數關系式，根據所得函數的性質求出△OPQ的面積最大值時，對應的t值；由此能得到AP的長，△OPB和△AOB中，若以BP、AB為底，那么它們的高相同，底的比就是面積的比，由此得解．
（3）此題分兩種情況：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一種情況，PQ∥y軸，利用相應的比例線段即可求出t的值；后一種情況可利用勾股定理來進行求解．
（4）若△OPQ為等邊三角形，Q點運動速度必須滿足OQ等于P點橫坐標的2倍（P點在線段OQ的中垂線上），然后根據等邊三角形的性質求出對應的t值．
點評：該題的難度較大，綜合了二次函數、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識．在解答（3）題時，要注意直角三角形的直角并沒有確定，要分類進行討論．